Максим народився 5 березня 1989 року в місті Магдебург (Німеччина).

З 1992 року проживав в місті Суми. У 2006 році закінчив школу №7.

З 2006 року проходив службу в ЗСУ. У 2010 році закінчив факультет аеромобільних військ та розвідки Академії сухопутних військ імені гетьмана Петра Сагайдачного у місті Львів. З весни 2014 року брав участь в АТО.

19 липня 2014 року під час наступальної операції в районі міста Лисичанськ Максим Савченко отримав декілька кульових поранень несумісних із життям.

Похований Захисник на Алеї Слави Центрального кладовища.

Нагороджений орденом Богдана Хмельницького III ступеня (посмертно), орденом «Народний Герой України» (посмертно), Почесний громадянин міста Суми (посмертно).

У 2015 році школі № 7 присвоєно ім’я Максима Савченка.

Вічна пам‘ять Героєві! Слава захисникам і захисницям України!