Народився 17 грудня 1969 року в місті Суми.

Навчався у Сумській середній школі № 4, був сумлінним та старанним учнем, брав активну участь у суспільному житті школи, спортивних змаганнях і культурно-виховних заходах.

З 1987 року по 1993 рік навчався у Сумському державному педагогічному інституті імені А.С. Макаренка на факультеті фізичного виховання. Під час навчання працював у 4 школі вчителем фізичної культури.

З 1990 року по 1992 рік працював пожежником у воєнізованій пожежній частині № 7 міста Суми.

Військову службу у Службі безпеки України проходив з 1993 року. З 2008 року обіймав посаду заступника начальника відділу Центру спеціальних операцій боротьби з тероризмом і захисту учасників кримінального судочинства та працівників правоохоронних органів Служби безпеки України в Управлінні Служби безпеки України в Сумській області.

З 15.04.2014 р. виконував обов’язки начальника відділу Центру спеціальних операцій боротьби з тероризмом і захисту учасників кримінального судочинства та працівників правоохоронних органів СБУ в УСБУ В Сумській області.

Зарекомендував себе як професіонал своєї справи та умілий організатор. Користувався безперечним авторитетом і повагою в колективі. Брав безпосередню участь у спеціальних заходах, які проводилися спецпідрозділом ІДСО «А» СБУ.

5 травня 2014 р. поблизу м. Слов’янськ Донецької області під час виконання бойового завдання група військовослужбовців Центру спеціальних операцій «А» СБУ була атакована групою бойовиків, яка першою відкрила вогонь з автоматичної та бронебійної зброї на ураження.

Вступивши у нерівний бій, співробітники спецпідрозділу з честю виконали свій службовий обов’язок, виявивши мужність і героїзм, залишившись вірними Присязі.

Під час бою полковник Аніщенко Олександр Григорович загинув, рятуючи своїх поранених товаришів.

Полковнику Аніщенку О.Г. було 44 роки. 21 рік він присвятив військовій службі в Управлінні СБ України в Сумській області, з них – у спецпідрозділі «Альфа» – 14 років чесної та сумлінної ратної праці.

Він був взірцем, прикладом та вихователем для молодих колег, і пішов з життя, виконавши свій військовий і громадський обов’язок.

У вересні 2014 року Сумська міська рада присвоїла Аніщенко Олександру Григоровичу звання «Почесний громадянин міста Суми» та на його честь у Сумській загальноосвітній школі І-ІІІ ступенів №4 було встановлено меморіальну дошку.

За особисту мужність і героїзм, виявлені під час захисту державного суверенітету та територіальної цілісності України, вірність військовій присязі та незламність духу, глава держави Петро Порошенко нагородив посмертно Олександра Аніщенка орденом Богдана Хмельницького ІІІ ступеня.