Народився в м. Суми 9 жовтня 1989 року.
Закінчив Сумську спеціалізовану школу №25, потім – Сумський професійний ліцей харчових технологій та торгівлі. Відбув строкову службу в армії.
У березні 2014 року був мобілізований. У 25-ій Сумській спеціалізованій школі, де навчався боєць, його добре пам’ятають. Згадує хлопця перша вчителька: у нього було добре серце і часто сумні очі, бо мав хвору маму. Молодший сержант Олексій Калюжний потрапив у зону проведення АТО у 2014 році – у списку перших мобілізованих. Якнайскоріше хотів повернутися додому, адже восени планував одружитися. Та не судилося. Життя бійця обірвалося 3 вересня 2014 року під час обстрілу з території Російської Федерації з РСЗВ «Смерч» базового табору 27-го Сумського реактивного артилерійського полку, розташованого поблизу Старобільська на Луганщині. Поховали солдата на Алеї Почесних громадян на Центральному кладовищі міста Суми.
11 вересня 2015 року в Сумській спеціалізованій школі №25 відбувся мітинг, присвячений відкриттю меморіальної дошки на вшанування пам’яті загиблих у зоні проведення АТО випускників школи: Коханого Артема, Калюжного Олексія, Харченка Романа. Своїм коротким, як спалах, життям ці хлопці осяяли та розбудили свідомість багатьох українців, стали прикладом мужності й любові до рідної землі. Справжні чоловіки, що не порушили жодної літери військової присяги.
Указом Президента України від 17 липня 2015 року № 436/2015, «за особисту мужність і високий професіоналізм, виявлені у захисті державного суверенітету та територіальної цілісності України, вірність військовій присязі», Олексій нагороджений орденом «За мужність» III ступеня (посмертно).
Рішенням Сумської міської ради від 30 березня 2016 року №487-МР Калюжному Олексію Володимировичу було присвоєно звання «Почесний громадянин міста Суми» (посмертно).
